அறிவியலும் கணிதமும் உணர்வாகும் – 1

அறிவியலும் கணிதமும் உணர்வாகும்

தொடர்:- விஜயபாஸ்கர் விஜய்

அத்தியாயம் 1 – பாலியாவின் தீர்வு காணும் முறைகள்

ஹங்கேரி நாட்டைச் சேர்ந்த ஜியார்ஜ் பாலியா (Geroge Polya) என்னும் கணித அறிஞர் கணக்கை தீர்க்கும் (Problem Solving) முறை பற்றி 1945 ஆம் ஆண்டு How to solve it என்ற புத்தகத்தில் எழுதியிருக்கிறார்.

கணிதத்தை புதிர்களை, கணக்குகளை தீர்க்கும் முறையில் எளிதாகக் கற்றுக் கொள்ளலாம் என்று ஜியார்ஜ் பாலியா நம்பினார்.

பாலியாவின் முறை, தெளிவான புரிதலான ’கசடற கற்றல் முறையின்’ ஆரம்பமாக இருந்தது எனலாம். அவரின் இப்புத்தகம் உலகப்புகழ்பெற்றது. பலர் அதை ஏற்றுக் கொண்டனர்.

அதையொட்டிய நிறைய புதிய கற்று கொள்ளும் கற்பிக்கும் சிந்தனைகள் தோன்ற ஆரம்பித்தன. பாலியா போன்றே, டேவே (Dewey) மற்றும் வேலிஸ் (Wallis) முறைகளும் புகழ்பெற்றது. இங்கே பாலியாவின் கணக்கும் தீர்க்கும், புதிர் தீர்க்கும் முறையை விளக்கமாகப் பார்ப்போம்.

1. கணக்கைப் புரிந்து கொள்ளுங்கள் (Understand the Problem)
ஒருவன் காலில் முள் குத்திய வலி இருந்ததாம். நண்பனிடம் என்ன செய்கிறது என்று கேட்க,

”பத்து ரத புத்திரனின் மித்திரனின் சத்ருவின் பத்தினியின் காலெடுத்துத் தேய்” என்றானாம். இது ஒரு புதிராகிவிட்டது. இப்புதிரை எப்படி தீர்க்கலாம். புதிரை வார்த்தைக்கு வார்த்தை தெளிவாக புரிந்து அர்த்தப்படுத்திக் கொண்டாலே புதிர் தீர்ந்தது மாதிரிதான்.

பத்துரத – பத்து ரத , புத்திரனின் – மகனின், மித்திரனின் – நண்பனின், சத்ருவின் – எதிரியின் , பத்தினியின் – மனைவியின், காலெடுத்து தேய் – காலை எடுத்துத் தேய்.

பாலியா புரிந்து கொள்ளுங்கள் என்கிறார். வார்த்தைக்கு வார்த்தை ஒரு கணக்கைப் புரிந்து கொள்ளுங்கள். அதன் அர்த்தத்தைப் புரிந்து கொள்ளுங்கள். அதே கணக்கை உங்கள் மொழியில் எழுதும்படியாக புரிந்து கொள்ளுங்கள், அதில் கணக்கைத் தீர்க்கும் விபரங்கள் முழுவதும் இருக்கிறதா என்று தெரிந்து கொள்ளுங்கள் என்கிறார்.

2. ஒரு திட்டத்தை வகுக்கவும் (Devise a Plan)

கணக்கை நன்கு புரிந்து கொண்ட பிறகு விடையை கண்டுபிடிக்க ஒரு திட்டத்தை வகுக்கவும். பாலியாவின் இந்த இரண்டாம் கட்டம் முக்கியமானது நுட்பமானது விரிவானது. விடை கண்டுபிடிப்பவரின் மூளைக்கு இந்த கட்டத்தில் நிறைய வேலை இருக்கிறது. எப்படி விடை கண்டுபிடிக்கலாம். எந்த முறையில் சென்றால் விடை எளிதாகக் கிடைக்கும் என்று கண்டுபிடிக்க வேண்டும். ஆராய்ந்து ஒரு திட்டத்தை வகுக்கவும் என்கிறார் ஜியார்ஜ் பாலியா. இதில் நிறைய முறைகள் இருக்கின்றன.பத்து முறைகளை மட்டும் இங்கே கொடுக்கிறேன்.

1. யூகம் செய்து சோதித்துப் பார் (Guess and check)

2. ஒழுங்காக வகைப்படுத்து ( Order the list)

3. சாத்தியங்களை கழித்து வா (Eliminate possibilities)

4. விதிவிலக்கை கவனி ( Consider special cases)

5. நேரடியாக யோசி ( காரணம் கொள்) (Use direct reasoning)

6. படம் வரைந்து விடை கொள் (Draw a picture)

7. மாதிரி உபயோகி (Use a model)

8. முடிவிலிருந்து முதல் நகர் (Work backwards)

9. சமச்சீர் உத்தி கொள் (Use symmetry)

10. சூத்திரம் கொள் (Use Formula)

11.தனித்துவமாக யோசி. (Be ingenious)

இதில் எந்த முறையை எதற்கு வேண்டுமானாலும் உபயோகிக்கலாம். குறிப்பிட்ட கட்டம் வரை ஒரு முறையையும். அதன் பிறகு வெவ்வேறு முறைகளையும் எடுத்துக் கொள்ளலாம். கணக்கின் தன்மையைப் பொறுத்தது அது.

3. செயல்படுத்துங்கள் திட்டத்தை (Carrying out the plan )

திட்டத்தை செயல்படுத்திப் பாருங்கள் என்பதை மூன்றாம் கட்டமாகச் சொல்கிறார் பாலியோ.

முதலில் பார்த்த ”பத்துரத” உதாரணத்தை எடுத்துக் கொள்ளலாம். அந்த ரத என்ற வார்த்தையைப் பார்த்து ஒருவேளை தசரதனின் ”தச” வார்த்தையைத்தான் அப்படி சொல்கிறார்களோ என்று யூகித்தால் அப்புதிரின் விடைய எளிதாக கண்டுப்பிடிக்கலாம்.

”பத்து ரத புத்திரனின் மித்திரனின் சத்ருவின் பத்தினியின் காலெடுத்துத் தேய்”

தசரத புத்திரனின் …. தசரத புத்திரர்கள் நான்கு பேர்கள் இருக்கிறார்கள்… அதிலும் யூகம் செய்கிறோம். ராமன் என்று யூகிக்கிறோம். இங்கே யூகம் செய்து சோதித்துப் பார் (Guess and check) முறையை உபயோகப்படுத்துகிறோம்.

ராமனின் மித்திரன் யார்?. அதாவது நண்பன் யார்? சபரி, குகன், சுக்ரீவன், வீபீஷணன் இவர்கள் எல்லாம் ராமனின் நண்பர்களாக வருகிறார்கள்.இங்கே சாத்தியங்களை கழித்து வா (Eliminate possibilities) முறையை உபயோகிக்கலாம்.

சபரி பெண். இங்கே ஆண்பாலில் இருப்பதால் அவராய் இருக்க முடியாது. குகனுக்கு சத்ரு எதிரி இல்லை. அவனாய் இருக்க வாய்ப்பில்லை. விபிஷணனும், சுக்ரீவனும் மிஞ்சுகிறார்கள். அவர்களின் எதிரிகள் யார். விபிஷணனுக்கு ராவணன் எதிரி என்று வைத்துக் கொண்டால், சத்ருவின் பத்தினியின் ராவணனின் மனைவி மண்டோதரி. யூகத்தின் அடிப்படையில் வீபீஷணனை Eliminate செய்து வைப்போம்.

சுக்ரீவனுக்கு ராவணன் எதிரியா? இல்லை ராமனுக்கு உதவி செய்யப் போக ராவணன் எதிரியாகிறான். வேறு யார் சுக்ரீவனுக்கு எதிரி இருக்கிறார்கள். வாலி எதிரிதானே. சுக்ரீவனை அடித்து விரட்டியவன் வாலி. வாலியை எடுத்துக் கொள்ளலாம்.

சத்ருவின் பத்தினியின். வாலியின் மனைவி யார்? தாரை. தாரை என்னும் பெண்ணின் காலை எடுத்து தேய்க்க வேண்டுமா? தர்க்கம் பொருந்தவில்லையே. யோசிப்போம்.

தா… ரை… என்று பெரிதாக ஒரு தாளில் எழுதி வைத்து யோசிக்கிறோம், படம் வரைந்து விடை கொள் (Draw a picture) என்ற முறையை உபயோகிக்கிறோம். அந்த எழுத்துக்களை பார்த்துக் கொண்டே இருக்கிறோம்.

இப்போது தனித்துவமாக யோசி. (Be ingenious) முறையை உபயோகம் செய்து தாரையின் காலெடுத்து தேய்க்க வேண்டுமா?

இங்கே த்+ ஆ = தா என்று வரும் அந்த “காலை” எடுத்துப் பார்த்தால் என்ன? ”தா” எழுத்தின் காலை எடுத்தால் “த” வருகிறது. அப்படியானால் தாரையின் எடுத்தால் தரை. தரையில் வைத்து தேய்ப்பதைத்தான் இவ்வளவு பெரிய விடுகதையாக சொல்லியிருக்கிறார்களா? என்று விடை கண்டுபிடித்த உற்சாகத்துக்கு வருகிறோம்.

ஒரு புதிரை ஜியார்ஜ் பாலியோ சொன்ன முறைப்படி அவிழ்த்திருக்கிறோம்.

4. சோதித்துக் கொள்ளுங்கள் (Look back on your work)

நீங்கள் கண்டுபிடித்த விடையை பாருங்கள். அதை கண்டுபிடித்த முறையை பின்னிருந்து முன் சென்று ஒவ்வொரு கட்டமாக சோதித்துக் கொள்ளுங்கள். முதலில் விடை சரியானதா என்று கண்டுகொள்ளுங்கள். அதன் பின் விடை கண்டுபிடித்த முறைகள் எளிதானதா? இன்னும் சரியான எளிதான முறைகள் இருக்கிறதா? என்று யோசியுங்கள். கவனியுங்கள். அப்படி தோன்று பட்சத்தில் மறுபடியும் மூன்றாம் கட்டத்துக்குச் சென்று புதிய முறைகளை சோதித்துப் பாருங்கள்.

ஜியார்ஜ் பாலியாவின் இம்முறை அடிப்படை கணிதம் மற்றும் அறிவியல் கற்றுக் கொள்வதற்கு மிக உபயோகமான ஒன்றாகும்.

பாலியாவின் முறைப்படி தீர்க்கப்பட்ட விடுகதை ஒன்றைப் பார்த்தோம். அடுத்து இரண்டு கணக்குகளைப் பார்க்கலாம்.

கணக்கு ஒன்று…

ராஜா ஒரு வண்டி வாங்க ஆசைப்படுகிறான். வண்டியின் விலை 75000 ரூபாய். ராஜாவால் மாதம் 15000 ரூபாய் வண்டிக்காக சேமிக்க முடிகிறது. இதுவரை இரண்டு மாதங்கள் சேமித்து விட்டான். இன்னும் எத்தனை மாதங்களுக்கு சேமித்தால் ராஜாவால் வண்டி வாங்க முடியும்.

புரிந்து கொள்ளல்:

கணக்கை நன்கு புரிந்து கொள்ள வேண்டும். வார்த்தைக்கு வார்த்தை அர்த்தம். மொத்தமாக என்ன விடை கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்ற புரிதல் அனைத்தும் கொள்ள வேண்டும். ராஜா வாங்க விரும்பும் வண்டியின் மொத்த விலை 75000. மாதா மாதம் அவனால் 15000 ரூபாய் வண்டிக்காக சேமிக்க முடிகிறது. இரண்டு மாதங்கள் சேமித்து விட்டான். இன்னும் எத்தனை மாதம் சேமித்தால் ராஜாவால் வண்டி வாங்க முடியும்.

விடை காணும் முறைகள் மற்றும் செயல்படுத்தும் முறைகள்.

முறை ஒன்று…

வண்டியின் விலை 75000 ரூபாய்.

ராஜா இரண்டு மாதம் 15000 ரூபாய் வைத்து சேமித்திருக்கிறான். 2 x 15000 = 30000 .

வண்டி வாங்க மீதம் தேவைப்படும் பணம் 75000 – 30000 = 45000

மாதம் 15000 வைத்து இன்னும் எத்தனை மாதம் ராஜா சேமிக்க வேண்டும் = 45000 / 15000 = 3 மாதங்கள்.

விடை : இன்னும் மூன்று மாதங்கள் சேமித்தால் ராஜாவால் வண்டி வாங்க முடியும்.

முறை இரண்டு…

75000 ரூபாயைப் பார்க்கிறோம். 15000 ரூபாயைப் பார்க்கிறோம். பதினைந்தாம் வாய்ப்பாடு நினைவுக்கு வருகிறது.

ராஜாவின் வண்டி வாங்கும் கணக்கில் மாதா மாதம் எவ்வளவு பணம் சேர்கிறது என்ற வரிசையை எழுதுகிறோம்..

முதல் மாதம் – 15000

இரண்டாம் மாதம் – 30000

மூன்றாம் மாதம் – 45000

நான்காம் மாதம் – 60000

ஐந்தாம் மாதம் – 75000

இரண்டு மாதம் ராஜா பணம் சேர்த்து விட்டான். முழு பணம் சேர்க்க எத்தனை மாதம் உழைக்க வேண்டும். வரிசைப்படுத்தி எழுதியதைப் பார்க்கிறோம். ஐந்தாவது மாதம் 75000 ருபாய் வருகிறது. இரண்டு மாதம் போய்விட்டது. அப்படியானால் (5 -2 = 3) மூன்று மாதங்கள் வேலை செய்தால் ராஜாவால் வண்டி வாங்க முடியும் என்று கண்டுகொள்கிறோம்.

கணக்கு இரண்டு :

ஒன்பதாம் வகுப்பு சமச்சீர் புத்தகத்திலிருந்து இக்கணக்கை எடுத்திருக்கிறேன்.

ஒரே கணக்கை தீர்க்க இரண்டு முறைகளை கையாண்டிருப்பதை கவனியுங்கள். இக்கணக்கை வாய்மொழியாக ஒருவர் நமக்கு சொன்னால் கேட்க எளிதாய் தீர்வு கண்டுபிடிக்கலாம் என்றுதான் தோன்றும். ஆனால் அது அத்தனை எளிதல்ல. சூத்திரத்தை உபயோகித்தோ அல்லது வென் படத்தை உபயோகித்தோதான் விடை கண்டுபிடிக்க முடிகிறது. புரிந்து கொள்ளல் என்ற ஜியார்ஜ் பாலியோவின் முதல் கட்டம் இங்கே முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது பாருங்கள். தெளிவுற கேள்வியை புரிந்து கொண்டால் மட்டுமே இப்படத்தை வரைய முடியும்.

சிறுவயதில் இருந்து பல்வேறு கணக்குகளை புதிர்களை கடந்து வந்திருப்போம். அவற்றின் விடையை ஆசிரியர்கள் சொல்லிக் கொடுத்தபடி புத்தகங்கள் சொல்லிக் கொடுத்தபடி கற்றிருப்போம். நல்ல மதிப்பெண் கூட வாங்கியிருப்போம். ஆனால் கேள்வியை மனதார புரிந்து கொண்டுதான் அவ்விடைகளை தீர்த்தோமா என்று நிச்சயமாக சொல்ல முடியாது. கேள்விகளை உளப்பூர்வமாக விளங்கிக் கொண்டிருந்தால் அதற்கு மேலும் பல விடை காணும் முறையை நம் மனம் யோசித்திருக்கும். அம்முறைகள் சரியா தவறா என்று சோதித்துப் பார்த்து கணிதத்தை ஒரு இன்பமாக போற்ற மனம் விரும்பியிருக்கும்.

அப்படி ஒரு சிந்தனையைத்தான் ஜியார்ஜ் பாலியோ தன் நான்கு கட்ட யுத்தி மூலம் சொல்கிறார். இவற்றை நாமும் கற்று நண்பர்களுக்கும் கற்பிப்போம். முக்கியமாக நம் வீட்டுக் குழந்தைகளுக்கு இதைக் கற்றுக் கொடுப்போம்.

எட்டு வயதில் குழந்தைகள் இம்முறையைத் தெரிந்து கொண்டால் அது எந்த அளவுக்கு நாட்டுக்கும் வீட்டுக்கும் அவர்கள் சிந்தனை முறைக்கும் பயன் என்பதை நினைத்துப் பார்த்தால் இன்றே இம்முறைய கற்றுக் கொடுக்க ஆரம்பித்திருப்போம்.

தொடரும்……

அத்தியாயம்  2 . . .