அறிவியலும் கணிதமும் உணர்வாகும் – 3

அறிவியலும் கணிதமும் உணர்வாகும்

தொடர் : – விஜயபாஸ்கர் விஜய்

அத்தியாயம் 3 – கால்குலஸ் கணிதத்தை புரிந்து கொள்வது எப்படி ?

கால்குலஸ் கணிதத்தை புரிந்து கொள்வது எப்படி ?

வகை நுண் கணிதம் (Differential Calculus) மற்றும் தொகை நுண் கணிதம் (Integral Calculus) இந்த இரண்டையும் புரிந்து கொள்ள முயற்சி செய்வோம்

நான் பிளஸ் ஒன் படிக்கும் போது எஸ்.என்.ஆர் என்றொரு ஆசிரியர் வகைநுண் கணிதம் (Differential Calculus),தொகைநுண் கணிதத்தை (Integral Calculus) இப்படி சொல்வார்.

ஒரு செருப்பு இருக்கு. ஒரு நாளைக்கு எவ்வளவு தேய்கிறது என்பது வகைநுண் கணிதம் (Differential Calculus)

ஒருநாளைக்கு எவ்வளவு தேய்கிறது என்பதை வைத்து ஒரு செருப்பின் தடிமனைக் கண்டுபிடிப்பது தொகைநுண் கணிதம். (Integral Calculus)

வகை நுண் கணிதம் – வகை – வகுத்தல் – சிறிதாக்கல். பெரியதொன்றை சிறிதாக்கல்.

தொகை நுண் கணிதம் – தொகை – தொகுத்தல் பெரிதாக்கல். சிறியதொன்றை பெரிதாக்கல்.

இப்படி இதை புரிந்து கொள்ளலாம்.

சமன்பாட்டுக்கும் (Equation) வரைபடத்துக்கும் ஒரு சம்பந்தம் இருக்கிறது என்பதை புரிந்து கொள்வது கணிதத்தின் முக்கியமான புரிதல் ஆகும்.

வட்டம் (Circle) இருக்கிறது. அதன் சமன்பாடு x^ 2 + y^2 = c^2 . (C^ 2 என்றால் C x C ஆகும் )

இந்த சமன்பாட்டை ஒரு கிராப் தாளில் புள்ளிகளாக்கி வரைந்தால் ஒரு வட்ட வடிவம் கிடைக்கும்.

இதை மனதில் நன்கு நிறுத்திக் கொள்ளுங்கள். உலகின் எந்த வடிவத்தையும் ஒரு எழுத்தாக அதாவது சமன்பாடாக எழுத முடியும். எந்த சமன்பாட்டையும் ஒரு வடிவமாக கொண்டு வரமுடியும்.

y=x என்ற எளிய சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். இதிலிருந்து புள்ளிகளை (Points) எடுங்கள்.

y = 0 என்றால் x= 0 ; y = 1 என்றால் x= 1 ; y = 2 என்றால் x= 2 இப்படி போகும்.

அப்படியானால் புள்ளிகள் எப்படி வரும் (0,0) (1,1) (2,2) (3,3) என்று கிடைக்கும் . இந்த புள்ளிகளை ஒரு கிராப் தாளில் (Graph sheet) வரைந்தால். அப்புள்ளிகளை இணைத்தால் ஒரு சாய்ந்த நேர் கோடு (Slope line) கிடைக்கும்.

அந்த சாய்ந்த நேர்கோடு (Slope line) எதன் வடிவம் ?

y=x என்ற சமன்பாட்டின் வடிவம்.

ஒரு எழுத்தை நாம் வடிவமாக்கி இருக்கிறோம். ஒரு வடிவத்தை எழுத்தாகவும் ஆக்கலாம்.

உங்கள் உருவத்துக்கு ஒரு சிக்கலான சமன்பாடு (Equation) இருக்கிறது. அந்த சமன்பாட்டை கணனியில் கொடுத்தால் உங்கள் உருவத்தை அது காட்டும். அப்படி புரிந்து கொள்ளுங்கள்.

இந்த வடிவம்- சமன்பாடு இடத்தை கொஞ்சம் நன்கு நிறுத்தி நிதானமாக புரிந்து கொள்ள முயற்சி செய்யுங்கள். இதைத்தான் ஆங்கிலத்தில் Analytical Geometry என்று சொல்வார்கள்.

படத்தைப் பாருங்கள் இது y = 2x என்ற சமன்பாட்டின் வடிவம். அதுவும் ஒரு சாய்ந்த நேர்கோடுதான்(Slope line).

ஆக சாய்ந்த நேர்க்கோட்டுக்கு என்று ஒரு பொது சமன்பாடு (Common Equation) இருக்கிறது என்பதை அறிகிறோம்.

அதுதான் y = mx .

இந்த m எனப்படுவதை Slope என்போம்.

எவ்வளவு சாய்கிறது என்பதற்கான ஒரு அளவு அது.

படம் இரண்டைப் பாருங்கள். அதில் y = x ^ 2 என்பதை கிராஃப் தாளில் வரைந்திருக்கிறோம். அது ஒரு வளையமாக (Curve) இருக்கிறது. அந்த வளையத்தில்(Curve) Q மற்றும் T என்று இரண்டு புள்ளிகள் இருக்கிறது பாருங்கள்.

இந்த இடத்தில் கொஞ்சம் பார்க்க சலிப்பாக இருக்கும். விட்டுவிடாதீர்கள் இது மிக எளிமையான ஒரு விஷயம்.

பாருங்கள். Q மற்றும் T இருக்கிறது.

O to Q “ஓடும்” தூரத்தை (படுத்திருக்கும் கோடு) x என்று குறிக்கலாம்

O to Q “உயரும்” தூரத்தை (நின்றிருக்கும் கோடு) y என்று குறிக்கலாம்.

dx என்பது x தூரத்தில் நடக்கும் சிறிய மாற்றம்.

dy என்பது y தூரத்தில் நடக்கும் சிறிய மாற்றம்.

இந்த சிறிய மாற்றம் என்று எதைச் சொல்கிறோம். அது அந்த வளையத்தில் நாம் எடுத்திருக்கும் மிகச்சிறிய பகுதியான Q மற்றும் T வளையத்தினால் (Curve) வரும் சிறிய மாற்றம் ஆகும்.

dx நகரும் போது அந்த வளையம் dy உயருவதை கவனியுங்கள். இந்த இடத்தில் நிறுத்தி நிதானமாக யோசியுங்கள். dx மற்றும் dy இந்த இரண்டும் ஒன்றை ஒன்று சார்ந்து இருப்பதைப் பாருங்கள்.

இப்படி ஒன்றை ஒன்று பாதித்து பாதித்து ஒரு ட்ரெண்டில்தான் அந்த வளையம் முழுவதும் இருக்கும் என்று புரிந்து வைத்துக் கொள்ளுங்கள் ( ஆரம்பித்தில் இப்படி புரிந்து கொள்வது கற்க எளிது).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

இப்போது Q, T ,dy,dx என்றொரு முக்கோணம் கிடைக்கிறது. (படம் மூன்று)

Q, T என்பது வளையம்தான். அது நேர்கோடு கிடையாது. அதை ஏன் நேர்கோடாக புரிந்து கொண்டோம் என்ற கேள்வி இங்கே முக்கியமானது. பூமி வளைந்த பரப்பைக் கொண்டதுதான். ஆனால் அதில் மிகச் சிறிய பகுதியான நம் நகரம் இருப்பது பார்க்க நேர்கோடாகத்தான் தெரியும். அதே மாதிரிதான். அந்த வளையத்தின் மிகச் சிறிய பகுதியான Q மற்றும் T பகுதிகளை நேர்கோடாகவும் (Straight line) எடுத்துக் கொள்ளலாம்.

வகைநுண் கணிதம் என்றால் என்ன? பெரிய ஒன்றின் சிறிய அளவை எடுத்து ஆராய்வது.

இங்கே பெரியது என்ன?

y = x ^ 2 என்ற பெரிய வளையம்.

அதில் உள்ள சிறியது என்றால் என்ன ?

அது Q மற்றும் T கொண்ட சிறிய வளையம்.

அந்த Q, T வளையத்தை இங்கே நேர்கோடாக எடுத்துக் கொண்டிருக்கிறோம்.

இந்த Q, T வளையத்தின் (நேர்கோட்டின்) பண்பை எப்படி அறியலாம்.?

அது dy,dx என்ற குறைந்த தூர அளவின் விகிதத்தை வைத்து அறியலாம். ஒரு சாய்ந்த கோட்டின் சாய்மானத்தை அறிய நிற்கும் கோட்டின் அளவை, படுக்கும் கோட்டை கொண்டு வகுத்தால் விடை கிடைக்கும். dy நிற்கும் கோடு (Vertical line). dx படுத்த கோடு. ( Horizontal line)

dy/dx = Q, T வளையம் (நேர்கோடு)

dy/dx = நேர்கோடு (Straight line)

நேர்கோட்டின் பொதுச் சமன்பாடு என்ன ? y = mx

அப்படியானால் dy/dx = mx

இப்போது வகைநுண் கணிதம் ஃபார்முலாவுக்கு வரலாம். y = x² என்பதை ஃபார்முலா படி கணக்கிட்டால். இந்த ஃபார்முலா பற்றி கவலைப்படாதீர்கள். கண்டுகொள்ளத் தேவையில்லை.

dy/dx =2.x ^(2 -1)

dy/dx = 2x

dy/dx = 2x என்பது dy/dx = mx என்பதில் வடிவம்தான். mx என்பது நேர்கோடுதான். அந்த நேர்க்கோட்டைத்தான் படத்திலும் பார்க்கிறோம்.

ஆக y = x² என்பதை வகைநுண் கணிதம் கொண்டு படம் வரைந்தாலும் சரி, ஃபார்முலாவில் போட்டாலும் சரி அது dy/dx = 2x என்று ஆகி ஒரு நேர்கோட்டின் தன்மையைப் பெறுகிறது.

y = x ^ 2 என்பது செருப்பு (உதாரணத்துக்கு) என்றால் dy/dx = 2x என்பது ஒருநாள் தேய்மானம். அப்படியானால் இது வகைநுண் கணிதம்.

ஒருநாள் தேய்மானத்தை வைத்து ஒரு செருப்பின் தடிமனைக் கண்டுபிடித்தால் அது தொகைநுண் கணிதம். இங்கே ஒருநாள் தேய்மானம் என்ன? dy/dx = 2x . அதிலிருந்து எப்படி செருப்பின் தடிமனைக் கண்டுபிடிக்க? தொகைநுண் கணித ஃபார்முலாவை செலுத்தினால்

dy/dx = 2x என்பது y= ( 2.x ^ 2 ) / 2 என்று ஆகும்.

(2.x ^ 2 ) / 2 என்பது x² ஆகும்.

y = x ^ 2 ஆகும். அப்படியானால் செருப்பின் தடிமன் (உதாரணத்துக்கு) y = x ^ 2 ஆகும்.

ஒரு சமன்பாட்டை வகைநுண் கணிதம் கொண்டு கணக்கிடும் போது கிடைக்கும் விடையை, தொகைநுண் கணிதம் செலுத்தி கணக்கிட்டால் முதல் சமன்பாடே வந்துவிடுகிறது பாருங்கள். பார்க்க படம் 4.

y = x² என்பது வகைநுண் கணிதத்தால் dy/dx = 2x ஆகிறது

அந்த dy/dx = 2x தொகை நுண் கணிதத்தால் y = x² என்று மறுபடியும் மாறும் அழகை கவனியுங்கள்.

நான் மேலே சொன்னவை அனைத்தும் மிக மிக அடிப்படையானவை அதை இங்கே தொகுக்கிறேன் இப்படி

  1. செருப்பு உதாரணத்தை வைத்து வகைநுண் மற்றும் தொகைநுண் கணிதம் விளக்கப்படுகிறது.
  2. ஒரு வளையத்தை y = x ^ 2 என்று எடுத்துக் கொண்டு அதில் உள்ள சிறிய பகுதியை ஆராய்கிறோம்.
  3. ஆராய்வதில் அந்த சிறிய பகுதியில் வளையம் நேர்கோடாகிப் போவதைப் பார்க்கிறோம்.
  4. வகைநுண் கணிதம் ஃபார்முலாவைப் போட்டு அந்த பெரிய வளையத்தின் (y = x ^ 2) சிறிய பகுதியை ஆராய்கிறோம். அதுவும் நேர்கோட்டையே (dy/dx = 2x) தரும் ஆச்சரியத்தை கவனிக்கிறோம்.
  5. dy/dx = 2x என்ற சிறிய வளையத்தை (நேர்கோட்டை) எடுத்து தொகைநுண் கணித ஃபார்முலா செலுத்துகிறோம். அப்போது முதலில் பார்த்த பெரிய வளையத்தின் சமன்பாடே (y = x ^ 2) வருவதைக் கண்டு ரசிக்கிறோம்.

இப்படியாக வகைநுண் கணிதத்தையும், தொகைநுண் கணிதத்தையும் உணர்வுப்பூர்வமாக புரிந்து கொள்ள முயற்சி செய்கிறோம்.

(தொடரும். . .)

அத்தியாயம்  2. . .